三角関数とパスカルの三角形

$cos\ n\theta$ は $cos\ \theta$ のn次多項式で表せます。

参照：高校の美しい数学チェビシェフ多項式
 https://mathtrain.jp/tn

では逆に、 $cos^n\ \theta$ が $cos\ m\theta$ としてどのように表せるのかというのは、ググってもあんまり出てきないような気がします。

具体的には、

$cos^2\ \theta = ( cos\ 2\theta + 1 )/2$
$cos^3\ \theta = ( cos\ 3\theta + 3cos\ \theta)/4$

という感じで、なんとなく二項係数っぽい組み合わせなのですが、もうひとつ規則性がはっきりしません。
二項係数といえばパスカルの三角形で、実際その係数が裏にあるのはちょっと変形するとわかります。
$cos(\theta)= cos(-\theta)$ なので、以下のように表すことができます。

$cos^0\ \theta = 1 =$ $cos(0\theta)$
$cos^1\ \theta =$ $(cos\ \theta + cos(-\theta))/2$
$cos^2\ \theta =$ $(cos\ 2\theta + 2cos(0\theta)+ cos(-2\theta))/2$
$cos^3\ \theta =$ $(cos\ 3\theta + 3cos\ \theta + 3cos(-\theta)+ cos(-3\theta))/4$
$cos^4\ \theta =$ $(cos\ 4\theta + 4cos\ 2\theta + 6cos(0\theta) + 4cos(-2\theta)+ cos(-4\theta))/8$

係数がパスカルの三角形、つまり二項係数です
一般化して、
$cos^n\ \theta = \{\sum_{k=0}^{n} ({}_n C _k \cdot cos\ (n-2k)\theta)\}/2^n$
です。

公式の係数が微妙に二項係数に似ているのは係数を折り返してたせいなのですね。

パスカルの三角形となる理由は明確で、三角関数のcos()の和積の関係によります。

$cos^n\ \theta\cdot cos\ \theta = cos^{(n+1)}\ \theta$ なので、上記の右辺の各項に $cos\ \theta$ をかけると、
$cos\ m\theta \cdot cos\ \theta =(cos\ (m+1)\theta + cos\ (m-1)\theta )/2$