cos関数計算の一工夫

受験数学系のYouTubeを観てて、あるパターンに気がついたのでメモ

例えば
$\theta = \frac{2}{7}\pi$
の時
$(1-\cos\theta)(1-\cos2\theta)(1-\cos3\theta)=\frac{7}{8}$
と答えは綺麗な有理数になる。

これを一般化すると、
$\theta = \frac{2}{2n+1}\pi$
$\prod_{k=1}^{n}(1-\cos k\theta) = \frac{2n+1}{2^n}$

nが1なら自明、2以下の場合はまあなんとかそのまま計算できますが、
n＝3以上ではちょっと工夫がいります。

といっても、ただの冪乗根の式の変形ですが。

7乗根の式から導出します。

$z^7-1 = (z-1)(z^6+z^5 +z^4 +z^3 +z^2 +z +1)=0$
解は
$1, \alpha, \alpha^2, \alpha^3, \alpha^4, \alpha^5, \alpha^6$
ただし
$\alpha = e^{i\theta} , \theta=\frac{2}{7}\pi$
です。
なので、
$z^6+z^5 +z^4 +z^3 +z^2 +z +1=(z-\alpha)(z-\alpha^2)(z-\alpha^3)(z-\alpha^4)(z-\alpha^5)(z-\alpha^6)$
という恒等式となります。
z＝1として、
$(1-\alpha)(1-\alpha^2)(1-\alpha^3)(1-\alpha^4)(1-\alpha^5)(1-\alpha^6)=7$
が導出できます。（これがよくあるパターン）
解はx軸を対称に共役の関係にあり、
$\overline{\alpha} =\alpha^6, \overline{\alpha^2} =\alpha^5, \overline{\alpha^3} =\alpha^4$
の組み合わせで整理して、
$(1-\alpha)(1-\alpha^6)(1-\alpha^2)(1-\alpha^5)(1-\alpha^3)(1-\alpha^4)=7$
$(1-\alpha)(1-\overline{\alpha})(1-\alpha^2)(1-\overline{\alpha^2})(1-\alpha^3)(1-\overline{\alpha^3})=7$
ここで、
$(1-\alpha)(1-\overline{\alpha})=(1+| \alpha \overline{\alpha} |-(\alpha+ \overline{\alpha} ))=2+2Re(\alpha)$
なので、
$2^{3} (1-\cos\theta) (1-\cos2\theta) (1-\cos3\theta) =7$
$(1-\cos\theta) (1-\cos2\theta) (1-\cos3\theta) =\frac{7}{8}$
となります。