amori's blog

よろず技術系と趣味関係の雑記です。アニメの比重が高くなってます・・

行列の非対角成分が一様な場合の行列式

数学

グラム行列式の計算で求めた非対角成分が一様な行列について一般化してみました。

対角成分を　 d_n 、左下三角成分を l 、右上三角成分を u とします。

D_n = \left| \begin{array}{ccccc} d_n & u & \cdots & u & u\\ l & d_{n-1} & \cdots & u & u\\ \vdots & l & \ddots & u & \vdots\\ l & l & l & d_2 & u\\ l & l & \cdots & l & d_1 \end{array} \right|

この行列式は、
D_n =\frac{l \prod_{ k=1}^n (d_k -u) - u \prod_{ k=1}^n (d_k -l) }{l - u }
と一般化できます。

ちょっとこみ入って見えますが対角成分が一様、つまり d_k = d で、
D_n =\frac{l(d-u)^n - u(d-l)^n}{l - u }
と結構シンプルになります。

導出方法を以下に整理します。
1行目から2行目を引き、1列目から2列目を引くと、
D_n = \left| \begin{array}{ccccc} d_n+d_{n-1} - l - u & u-d_{n-1} & 0 & \cdots & 0 & 0\\ l-d_{n-1} & d_{n-1} & u & \cdots & u & u\\ 0 & l & d_{n-2} & \cdots & u & u\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & u & \vdots\\ 0 & l & l & \cdots & d_2 & u\\ 0 & l & l & \cdots & l & d_1 \end{array} \right|

余因子で展開すると、
D_n = (d_n+d_{n-1} - l - u)D_{n-1} - (l-d_{n-1})(u-d_{n-1})D_{n-2}
と漸化式になります。係数がn依存で定数ではないですが計算は普通の漸化式とほとんど同じです。

D_n - (d_n - u)D_{n-1}= (d_{n-1} - l )\{D_{n-1} - (d_{n-1}-u)D_{n-2}\} \\ =\prod_{k=2}^{n-1} (d_{k} - l ) \{D_2 - (d_2-u)D_1\} \\ =\prod_{k=2}^{n-1} (d_{k} - l ) \{(d_2 d_1) - lu- (d_2-u)d_1\}\\ =\prod_{k=2}^{n-1} (d_{k} - l ) \{(d_1-l) u\}\\ =u\prod_{k=1}^{n-1} (d_{k} - l )
となります。
同様に (d_n - l)についても整理でき、
D_n - (d_n - u)D_{n-1}=u\prod_{k=1}^{n-1} (d_{k} - l ) \\ D_n - (d_n - l)D_{n-1}=l\prod_{k=1}^{n-1} (d_{k} - u )
の２つから D_{n-1}を消去すると、
D_n =\frac{l \prod_{ k=1}^n (d_k -u) - u \prod_{ k=1}^n (d_k -l) }{l - u }
が導出できます。