amori's blog

よろず技術系と趣味関係の雑記です。アニメの比重が高くなってます・・

行列式の計算

先の記事
amori.hatenablog.com
で省略した、超立体の体積計算でのグラム行列式の計算は、普通に行列式計算の展開をすれば求まります。
以下がその過程です。
#意外にも最後に二項定理がでてきます。

対角要素が1、その他要素をp として一般化します。

 D_n =
 \left|
\begin{array}{ccccc}

 1 & p & \cdots & p & p\\
 p & 1 & p & p & p\\
  \vdots & p &  \ddots & p &  \vdots\\
 p & p & p & 1 & p\\
 p & p &  \cdots & p & 1
\end{array}
\right|
計算しやすいように分離します。
 =
 \left|
\begin{array}{ccccc}

 1-p & p & \cdots & p & p\\
 0 & 1 & p & p & p\\
  \vdots & p &  \ddots & p &  \vdots\\
 0 & p & p & 1 & p\\
 0 & p &  \cdots & p & 1
\end{array}
\right|

+

 \left| \begin{array}{ccccc}

 p & p & \cdots & p & p\\
 p & 1 & p & p & p\\
  \vdots & p &  \ddots & p &  \vdots\\
 p & p & p & 1 & p\\
 p & p &  \cdots & p & 1
\end{array} \right|

第2項を,1行1列の要素がpである行列として、その行列式をD'とします。
 = (p-1) D_{n-1} + D'_n
D'を展開します。
 D'_n=  \left| \begin{array}{ccccc}
 p & p & \cdots & p & p\\
 p & 1 & p & p & p\\
  \vdots & p &  \ddots & p &  \vdots\\
 p & p & p & 1 & p\\
 0 & 0 &  \cdots & 0 & 1-p
\end{array} \right|

 = (-1)^{n+n}(1-p) \left| \begin{array}{cccc}
 p & p & \cdots & p \\
 p & 1 & p & p \\
  \vdots & p &  \ddots  &  \vdots \\
 p & p  & \cdots & 1
\end{array} \right| = (1-p) \cdot D'_{n-1}
よって、 D'_n=(1-p)^{n-2} D'_2
 D'_2 =  \left| \begin{array}{cc}
 p &  p \\
 p & 1 \end{array} \right| = p-p^2=p(1-p) なので
 D'_n=(1-p)^{n-1} p


もとの式に戻します。見やすいように 1-p = \alphaとして、
 D_n = \alpha D_{n-1} +\alpha^{n-1}(1-\alpha)
これをn=2まで展開し、
 \alpha D_{n-1} = \alpha^2 D_{n-2} +\alpha\cdot\alpha^{n-2}(1-\alpha)
 \vdots = \vdots
 \alpha^{n-2}D_2 = \alpha^{n-1} D_1 +\alpha^{n-2}\cdot\alpha(1-\alpha)
すべて合計すると右辺左辺の D_kが相殺され、
 D_n = \alpha^{n-1} D_1 +(n-1)\alpha^{n-1}(1-\alpha)

 D_1 = 1 なので、
 D_n = \alpha^{n-1}(1+(n-1)(1-\alpha)) =   \alpha^n + n\alpha^{n-1}(1-\alpha)
 \alpha = 1-p に戻して、

 D_n = (1-p)^{n} + n\cdot (1-p)^{n-1}\cdot p
これ、2項定理の最初の2項の和ですね。なんでかわかりませんがw

というわけで、 p=\frac{1}{2}の時は  D_n = \frac{n+1}{2^n}となります。