行列式の計算 - amori's blog

先の記事
amori.hatenablog.com
で省略した、超立体の体積計算でのグラム行列式の計算は、普通に行列式計算の展開をすれば求まります。
以下がその過程です。
＃意外にも最後に二項定理がでてきます。

対角要素が１、その他要素をp として一般化します。

（2022/02/06追記）
さらに一般化したものはこちらです。
行列の非対角成分が一様な場合の行列式 - amori's blog

グラム行列式についてはもっと簡単な計算方法がありました。
$D_n = \left| \begin{array}{ccccc} 1 & p & \cdots & p & p\\ p & 1 & p & p & p\\ \vdots & p & \ddots & p & \vdots\\ p & p & p & 1 & p\\ p & p & \cdots & p & 1 \end{array} \right|$
2行目以降から1行目を引きます。
$D_n = \left| \begin{array}{ccccc} 1 & p & \cdots & p & p\\ p-1 & 1-p & 0 & 0 & 0\\ \vdots & 0 & \ddots & 0 & \vdots\\ p-1 & 0 & 0 & 1-p & 0\\ p-1 & 0 & \cdots & 0 & 1-p \end{array} \right|$
2列目以降を1列目に足して1列目2行目以降をゼロにします。
$D_n = \left| \begin{array}{ccccc} 1-(n-1)p & p & \cdots & p & p\\ 0 & 1-p & 0 & 0 & 0\\ \vdots & 0 & \ddots & 0 & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & 1-p & 0\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 1-p \end{array} \right|$
三角行列になったので、
$D_n =(1-(n-1)p)(1-p)^{n-1} \\ =(1-p)^n +np(1-p)^{n-1} \\$

（追記終わり）********************
(以下、旧記載）
対角要素が１、その他要素をp として一般化します。
$D_n = \left| \begin{array}{ccccc} 1 & p & \cdots & p & p\\ p & 1 & p & p & p\\ \vdots & p & \ddots & p & \vdots\\ p & p & p & 1 & p\\ p & p & \cdots & p & 1 \end{array} \right|$
計算しやすいように分離します。
$= \left| \begin{array}{ccccc} 1-p & p & \cdots & p & p\\ 0 & 1 & p & p & p\\ \vdots & p & \ddots & p & \vdots\\ 0 & p & p & 1 & p\\ 0 & p & \cdots & p & 1 \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccccc} p & p & \cdots & p & p\\ p & 1 & p & p & p\\ \vdots & p & \ddots & p & \vdots\\ p & p & p & 1 & p\\ p & p & \cdots & p & 1 \end{array} \right|$

第2項を,1行1列の要素がpである行列として、その行列式をD'とします。
$= (1-p) D_{n-1} + D'_n$
D'を展開します。
$D'_n= \left| \begin{array}{ccccc} p & p & \cdots & p & p\\ p & 1 & p & p & p\\ \vdots & p & \ddots & p & \vdots\\ p & p & p & 1 & p\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 1-p \end{array} \right|$

$= (-1)^{n+n}(1-p) \left| \begin{array}{cccc} p & p & \cdots & p \\ p & 1 & p & p \\ \vdots & p & \ddots & \vdots \\ p & p & \cdots & 1 \end{array} \right| = (1-p) \cdot D'_{n-1}$
よって、 $D'_n=(1-p)^{n-2} D'_2$
$D'_2 = \left| \begin{array}{cc} p & p \\ p & 1 \end{array} \right| = p-p^2=p(1-p)$ 　なので
$D'_n=(1-p)^{n-1} p$

もとの式に戻します。見やすいように $1-p = \alpha$ として、
$D_n = \alpha D_{n-1} +\alpha^{n-1}(1-\alpha)$
これをn=2まで展開し、
$\alpha D_{n-1} = \alpha^2 D_{n-2} +\alpha\cdot\alpha^{n-2}(1-\alpha)$
$\vdots = \vdots$
$\alpha^{n-2}D_2 = \alpha^{n-1} D_1 +\alpha^{n-2}\cdot\alpha(1-\alpha)$
すべて合計すると右辺左辺の $D_k$ が相殺され、
$D_n = \alpha^{n-1} D_1 +(n-1)\alpha^{n-1}(1-\alpha)$