ドブル (Dobble) の数理(2)
前の記事でDobbleの「任意の二枚で共通のシンボルはひとつのみ」という「ドブル構成」(勝手に命名しました)を導く方法を解説しました。
http://amori.hatenablog.com/entry/2016/10/10/030856
ここで既に一枚のシンボルの数がn個の場合、条件を満たせばカードの数をn×(n-1)+1とできることを示しましたので、ここではそれが最大でありこれ以上はたとえシンボル数の総数を増やしてもカードの最大数を増やせないことを説明します。
まずn=3で考えます。
一枚の3つのシンボルをひとつの三角形の3つの頂点に置き換えます。
するとDobble の条件は、どの三角形も他の全ての三角形と一点でのみ繋がっている状態と同じです。
ここでひとつの三角形(Aとします)に注目します。この三角形のひとつの頂点sに、他の三角形が3つ(B,C,D )繋がっているとします。
次に三角形Aの別の頂点tに繋がっている三角形Eを考えます。
ドブル構成から、EはA,B,C,D全てと繋がります。よってA,B,C,DはEのいずれかの頂点に繋がっているはずですが、そうすると鳩小屋の定理(鳩の巣原理)から三角形Eの三つの頂点のどこかにA,B,C,Dのいずれかふたつ以上が繋がっていることになります。
その２つが例えばBとCだとしましょう。
A,B,C,Dは既に頂点sの一箇所で接続しており、またEの頂点でB,Cが接続にし、この頂点はsではありません。
ということは、BとCは異なる２つの頂点で接続することになります。
これはドブルにおいてふたつのカード(三角形)で共通のシンボル(頂点)がふたつあることになります。
これはドブル構成に反します。
よってひとつの頂点で接続しうる三角形は最大三つということになります。
これはn角形についても同様に一般化でき、n角形がドブル構成で接続しうる最大の個数はn×(n-1)+1となります。
これがドブルにおいてカード数の上限が57枚であることの説明です。
ドブルの数理(3)に続きます。
http://amori.hatenablog.com/entry/2016/10/21/002032
その他のドブル関係の記事はこちら
amori.hatenablog.com
カードゲーム ドブル(Dobble)の数理
ドブル(Dobble)というカードゲームをご存知でしょうか
本家はこちら
https://hobbyjapan.co.jp/dobble/
ゲームの感じはこちらがわかりやすいでしょう
http://primaryplus1.com/dobble
全部で55枚のカードにそれぞれ8つの絵というかシンボルが描かれており、任意の2枚のカード間でひとつだけ同じシンボルがあるようになっていて、この仕組みを使ったゲームが色々と遊べるようになっています。
単純に二つのカードで共通のシンボルを早い者勝ちで宣言する、というシンプル極まりないルールでも結構盛り上がりそうです。
さて、ここで興味深いのは「任意の２枚のカードで共通のシンボルが必ずひとつしかない」という構成です。
全てのカードに共通なひとつのシンボル、という自明な構成を除き、その構成はどのようになっているのでしょうか。
少ない数から試してみましょう。
例えばシンボルが一枚あたり2個ならば、{A,B}{B,C}{C,A}と3枚になり、
3個なら、
| A | B | C | ||||
| A | D | E | ||||
| A | F | G | ||||
| B | D | F | ||||
| B | E | G | ||||
| C | D | G | ||||
| C | E | F |
と7組でシンボルも7つになります。
4つ以上になるとなかなか複雑になってきて直感的に構成するのはちょっと難しいです。
そして1枚当たり8シンボルのDobbleでは全部でいくつシンボルが必要で、そしてカードの数が何故55枚になるかは、なかなか興味深い問題です。
で、結論から言いますと55枚の理由はわかりませんでした(^_^;)
いや、導出法はわかったのです。
しかしその結果は最大57枚になるはずなんですよ。
なんで55枚なんだろなあ。
もしかしたら遊ぶ時の配分の関係か、商品化で枚数制限があったのかもしれません・・
それでは、ドブルにおけるシンボル数とカードの最大数の関係およびシンボルのパターンの導出について解説しましょう。
まずはカードの数。
シンボル数をnとした場合のカードの最大数はn×(n-1)+1です。Dobbleでは8×7+1=57枚です。この時必要なシンボルの数も同じです。
既に示したn=2の時は3、n=3の時は7となってます。
ただし、全てのnに対してこれが成立するわけではなく、n=p^k+1 つまり素数の冪乗+1の時にこの最大値になります。
・・・たぶん(^_^;)
実はこの条件での導出方法はわかったんですが、その他の場合に最大値になる構成はできないということは証明できてなくてたぶん無理だろうというところまでしかわかりませんでした。
以下にその導出法を説明します。
1. まずm=n-1について、m人ゲームのm^2人総当たり問題を解きます。これはm=4の場合、いわゆる16人麻雀総当たり問題と呼ばれるものです。
2. 1からm人m組がm+1回戦する組み合わせが求まります。
3. k回戦の各組に「k」を追加します。
4. 1からm+1からなる組を追加します。
5. 以上でm×(m+1)+1=n×(n-1)+1組が求められ、これがDobbleのカードに相当する組み合わせになります。
具体的にn=4の例で説明します。
1.の3人ゲームの9人総当たりは4回戦になりa-iで組み合わせると、
| a | d | g | a | b | c | a | b | c | a | b | c | |||
| b | e | h | d | e | f | f | d | e | e | f | d | |||
| c | f | i | g | h | i | h | i | g | i | g | h |
となります。縦の3つがひとつの組です。
これに全4回戦に一人づつ加えて、さらに1組足します。
| 1 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 |
| 2 | a | d | g | a | b | c | a | b | c | a | b | c |
| 3 | b | e | h | d | e | f | f | d | e | e | f | d |
| 4 | c | f | i | g | h | i | h | i | g | i | g | h |
この13組の任意の2組について必ず同じものがひとつだけとなっています。
これは総当たり組み合わせの特徴から明らかで、例えば1回戦のa,b,cの組の３つは他の回戦で必ず別々の組になっています。ですからこのa,b,cの組と2〜4回戦の任意の組とでは必ずaかbかcのどれかひとつだけが一致します。
また各回戦の全組に共通のものを加えたので、回戦内の任意の2組でもそれが唯一の一致するものになります。
あと全回戦の要素で1組追加でき、これも当然他の組とはひとつしか共通要素がありません。
ドブルのカードの場合は、7×7人総当たりを求めて57通りの組を導出することができます。ドブルのカードのシンボルの数は57通りらしいので、理論的にはあと2枚追加可能です(^_^)
この導出法は、m人ゲームm×m総当たり問題が導出可能である限り適用可能であり、その導出法は有限体の性質から導くことができ、有限体の位数(要素数)の条件「mが素数の冪乗」がそのまま条件になります。
この導出法については「麻雀16人組み合わせ問題」として有限体の応用として有名ですので(^_^;)例えば
http://www.ne.jp/asahi/music/marinkyo/matematiko/kombinajxteorio.html.ja
を参照ください。ここに有限体を用いた一般化について必要なことは、教科書の引用ですが、全部書かれています。
以上から有限体の位数の条件、2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,17,19,,,
で総当たりが可能なので、
3,4,5,6,8,9,10,12,14,17,18,20,,,.
で,ドブル構成(と、とりあえず呼びます)の最大数を導けることになります。
これが「最大」であることについては別にまた証明が必要ですが、意外に簡単に説明できるので別途説明します。
さて、「有限体とならない位数で総当たりができない→Dobble構成の最大値とならない」か、どうかは自明ではありません。わたしには証明できていません。
しかし、例えばn=7でDobble構成が可能となるならば、逆にm=6で総当たり組み合わが可能であることは、導出手順の4,→3.で明らかです。そして総当たりの組み合わせは有限体の条件によって同形でユニークに求められているので、逆に有限体となることが必要になり矛盾する、のではないかと思います。
(すみません、感覚的でして証明は出来てません..)
以上、ドブル構成の導出方法についてまとめました。その気になれば自分の好きなシンボルでオリジナルのドブルつくれますよ。
ちなみにシンボル数6と10についてはdobbleのアプリでオプションになってました。
ドブルの数理(2) に続きます。
http://amori.hatenablog.com/entry/2016/10/10/030856
その他のドブル関係の記事はこちら
amori.hatenablog.com
解答編: 次は何？
第1問の答え
念のためちょっと改行
元の答えは、ＩＴＯＴ
列を増やした今の答えは、ＩＴＴＴＴ
第2問の答え
次は２８０９
そして２０４８の前は１８４９
です。
解説:
第1問は素数を平衡三進法を表記したもので、1→Ｉ, 0→Ｏ, -1→Ｔ、と置き換えています。
三進法 - Wikipedia
平衡三進法は、通常の三進法の各位の係数を、0,1,2 ではなく-1, 0, 1としたもので、慣習的に-1は1の上の~(チルダ)をかくのを全部アルファベットで代用したのが問題の表記です。
問題の最後の数は、
ＩＩＩ=1×3^2 + 1×3^1 + 1×3^0 =9+3+1 =13
なので、次の素数は17なので、
これは27 -9 +0 -1 なので ＩＴＯＴという表記になります。
列を増やした今の答えは、
素数の続きで、19, 23, 29, 31, 37ときて
ＩＴＴＴＴ=81 -27 -9 -3 -1 =41です
ちなみにＴＯＴＯは-30ですね(^_^)
第2問
法則は「素数の二乗以上の冪乗数を大きさ順に並べる」というものです。
2048でピンと来る人が多いでしょうから、後は他の数も素数の冪乗になっていることにも気がつくと思います。
あとは次に来る素数の冪乗を求めればいいのですか、これが意外に面倒くさい(^_^;)
2809=53×53が、暗算でパッとわかれば決して難しい問題ではありませんが、わたしには無理です・・
Googleはなんでも知っている・・
調べ物をしていた同僚が、
「Googleはなんでも知っているなあ」
とつぶやいたので、
「なんでもじゃないよ。知ってることしか知らないよ」
と返してみたが、誰も「羽川翼(化物語)かよ!」と突っ込んでくれなかった・・・(当たり前だ)
それはさておき、これに続いた会話が色々と含蓄があった。
「そうなんだよねー。今は検索で見つかんなければ、別の方法で裏をとることしなくなっちゃたよね」
「昔は文献検索ってほんとに学会誌を手作業でめくったもんだけど、今はオンラインになってない資料は存在しないかの扱いにすらなりかねない」
「観測されない事象は存在しない、てやつねw」
「ネットから辿れないものは存在してないに等しいってか」
「いや、若い人はマジでそんな感じ。手作業の文献検索はもう遺跡発掘みたいな感じなんだと思う」
「その遺跡発掘も自動化されつつあるわな」
「実際、Googleは世界中の図書をデジタル化してるし、AIによる言語解析や画像認識も、森羅万象をオンライン化しようとしてるからねえ」
「IoTもそれを加速するよね」
『Googleはなんでも知っている』というのが文字通りの意味になるのはそんなに先の話ではないような。
先日のGoogle・amazon・IBMの提携ってのは、オンラインとリアルワールドの境目を消し去るビジョンを共有してるのでしょう。
生きてるうちにシンギュラリティを見られるかな。
シン・ゴジラと「未知への飛行」
東宝の山内プロデューサーに「シン・ゴジラ」に取材した記事で非常に興味深い記述がありました。
庵野対東宝、エヴァと並べた決断、掟破りの「シン・ゴジラ」山内章弘プロデューサーに更に聞く - エキレビ！(4/4)
岡本喜八監督の作品に大きく影響を受けていることは既に何度も語られていますが、それとともに「『未知への飛行（６３年）の話もずいぶん出ました。」との記述があります。
残念ながら、この記事ではこの映画がどのようにシン・ゴジラに影響したかについて掘り下げていません。もしこの記事のライターが「未知への飛行」の内容を知っていたら次の文の「大勢のひとが各々の視点で・・・」などという情報量のないまとめにはしなかったでしょう。
製作側が「未知への飛行」を強く意識していたという事実によって、「シン・ゴジラ」のあるシーンを深く解釈することができます。
以下、「シン・ゴジラ」と「未知への飛行（現代：FAIL SAFE）」の内容に触れますのでご注意ください。
上記の「あるシーン」とは、
（以下、シン・ゴジラの中盤あたりのシーンに触れます）
米国の東京への核兵器使用について「極東の島国だからそんな決定ができるんだ」と憤る
矢口蘭堂（長谷川博己）にたいして、赤坂官房長官（竹之内豊）が「（大統領は）仮にニューヨークだったとしても同じ決断をしたそうだ」と語るシーンです。
このシーンの直前で、赤坂は東京への核使用の決定を知り感情を露にして反発していました。作品全体で始終クールであった赤坂がほとんど唯一感情を見せたシーンです。ですから、赤坂が矢口に対して、日本人ならば容易くは受け入れがたい決定を極めて冷静に説明しているのは、はたしてどういった心境なのか解釈の余地が生まれます。
米国の決定には逆らえない日本の立場を諦観とともに受け入れているのか、政治家として大局をとって東京の消滅もやむ無しと理解しているのか、それとも言葉の通り米国の言い分を信じ核使用を納得しているのか。
わたしはこのシーンの赤坂の「ニューヨークに核」という台詞を聞いた時に、まさに「未知への飛行」を思い出しました。そのため、「赤坂は言葉通りに米国の大統領の言い分を理解したのだろうなあ」と感じました。
なぜそう思えるのかということについては、「未知への飛行」の結末にまで触れなくてはりません。以下あらすじおよび結末に触れます。
「未知への飛行」（映画邦題 原題：FAIL SAFE, 創元文庫「未確認原爆投下指令」）
１９６２年に発表された偶発的な核戦争勃発の恐怖を描いた作品です。
大まかな粗筋：ソ連の敵対行動を察知した米国は核搭載爆撃機をモスクワへ向かわせますが、ソ連の敵対行動は誤認であることが判明し攻撃指令を撤回します。しかし通信システムの不具合により一部の爆撃機の攻撃指令を止めることができなくなってしまいます。米国はやむなく、ソ連に対して誤った攻撃指令が継続していることを伝えなんとか最悪の事態を回避しようとあらゆる手段を講じますが・・・・・
（以下、結末に触れます）
米国からソ連に対しての作戦行動情報の提供・協力にも関わらずモスクワへの核爆弾の投下は回避できませんでした。そして米国大統領は、モスクワ爆撃が回避できなかった場合にソ連からの報復攻撃を止めるために、ソ連に約束した指令を実行します。
それが「自らニューヨークに核を落とし報復の連鎖を止める」という決断です。
こや結末は当時としては非常にセンセーショナルなものですが、これはまた同時に当時ソ連と米国が核兵器を互いの喉元に突き合わせて、いつ全面核戦争が起こるかわからないという非常に危うい均衡の上に世界があったことを肌で感じてたことのあらわれでもあります。
同時期にほぼ同じプロットの「破滅への２時間」という作品も発表されており、これはあのキューブリックの「博士の以上な愛情あるいはいかにして（以下略）」の原作であります。（映画はブラックジョークテイストですが・・）
このようにフィクションの世界とは言え、米国は核の恐怖を刷り込まれており、そして実際１９６２年にキューバ危機で世界は本当に全面核戦争の一歩手前にまで至っており、リアルにその恐怖を経験しているのです。
「FAIL SAFE」は、その中でも特に米国のトラウマとして強く残っているものなのでしょう。
本作は２０００年にジョージ・クルーニーが生放送という形式でリメイクしてもいます。
話を「シン・ゴジラ」に戻しましょう。
わたしが赤坂（竹之内）の台詞を「米国大統領の説明を納得した」と感じたのは「ニューヨークに自らの意思で核を使う」という言葉がダイレクトに「未知への飛行」を思い起こさせたからです。製作陣がこの作品を強く意識していたというのであれば、脚本の意図も恐らく同じだと思います。
観客に大統領の意志と赤坂の考えを伝えるためには、赤坂・矢口間でそれなりのやり取りが必要ですが、ただでさえ情報量が多くて早口でなんとか尺に納めている脚本にそれ以上の説明を加えるのは無理と判断したのでしょう。そこで伝わる人には伝わるキーワード「ニューヨークに核」、そして竹之内豊の演技に全てを込めて、あとは観客の理解に任せたのではないかと思いました。
ちなみに「未知への飛行」を知らず、シン・ゴジラを観た人に、このシーンの赤坂の心境はどうだったかと想像するか質問してみたら、人ごとに見事に意見が割れてました。まあ、そうなりますよね（＾＾；）
あと、これを書いていてふと思い出したのですが、わたしが初めて初代ゴジラを観たのは読売テレビで不定期にやっていた映画特集「cinemaだいすき」だったはずです。そして、たしか「未知への飛行」「アトミックカフェ」も同時にラインナップされていました。「博士の異常な（以下略）」もあったかな。（ググってみたら1986年の第７回アトミック特集。作品リスト不明）
庵野監督はこの頃にはもう上京しているのでこの特集を観てはいないと思いますが、制作陣の中で「未知への飛行」が何度も語られていたというのはスタッフの中でこの特集を観た人が少なからず居て「（初代）ゴジラ」と「未知への飛行」の組み合わせが刷り込まれてたのかも知れません。
赤羽といえば「錆」
なんかたまたま、ここのところ続けて朝ドラ観てたんですが、今週は洗濯機の耐久試験の、(暮らしの手帳がモデルの)出版社とメーカー複数社の公開試験というか公開討論のお話をやってました。
話は、偉そうなことを言ってた悪徳メーカーが、致命的な不良・偽装設計を指摘されてギャフン(死語)という安心の予定調和の展開。
安全性・信頼性の検証というものが朝ドラにおいてどのように描かれのか、技術屋としてちょっと興味を持って観てました。あと、フィクションとはいえあからさまな悪役の電機メーカーを設定すると「あのメーカーってどこがモデルだろ」とか勘ぐられるでしょうからメーカーの名前にも気を遣ってんだろうなあ、とか思ったり。
で、その悪徳メーカーの名前は、AKABANE、赤羽ですね。ぱっと連想される特定のメーカーはないので無難なとこ選んだな、と観てたんですが、
結末の「コンセントに使うべき真鍮ネジを、コスト削減のためにメッキした鉄ネジで偽装。それが原因で錆が出て発火の危険もある不良製品」ということがバレるくだりで、おおっ(^｡^)っと思ってしまいました。
というのも、たぶん偶然だとは思うんですけど、特定分野の技術屋には「赤羽」言えば「錆」、「錆」といえば「赤羽」なのです。
うんうん、と頷いてるあなた、鉄ちゃん、もしくは鉄道信号保安関係者ですねw
「赤羽事故」とか「赤羽対策」というのは鉄道関係の教科書にも乗ってる用語でして、
この事故はつまるところ、レール表面の錆のせいで保安装置が列車の検知に失敗し、信号保安装置がそのレールのエリアに列車がいないものと誤認し、結果危険な制御をしてしまった、というものです。
鉄道のレール表面は実はとても錆びやすく、終電から始発までの短い時間でもレール表面には薄く錆が出て、列車検知性能にこそ影響はしませんが、始発電車の先頭車両では車輪とレール間の電気の流れは明らかに低下します。車輪がいくつか通過すれば錆は剥がれるので特に問題はないのですが、もし列車が通る線路がたまにしか通ることがないルートだった場合、湿度などの環境によっては車輪が通過してもレール表面の錆が直ぐにはがれないほど錆が出てしまい、信号保安装置が列車を検知し損ねて制御を失敗する可能性が生じます。
この原因が元で実際に赤羽駅で起きた脱線事故が「赤羽事故」であり、この教訓は後の信号保安装置の安全設計に活かされています。
というわけで、特定分野に関係する人には「赤羽」と「錆」とは非常強く関係付けられワードなのです。
連ドラのは偶然だとおもいますが・・以外に「鉄」の人は業界にも多いからなあ(^^;;
