2019-04-08

GXRスナップ: Lock of Love

カメラ GR スナップ GXR

愛が重い(物理)

2019-03-19

GRスナップ:月暈

GR カメラ科学水戸スナップ

帰り道、月が薄っすらと霞んでるなあと眺めてて、大きなリングが見えてるのに気がつきました。
GRの28mm(相当)なら全体を取れるかなと思ったのですが、意外に大きくてフレームには収まりきれませんでした。

「月暈」という現象なのですね。
http://mo.atz.jp/chisiki/ring/index.htm

2019-01-19

行列式の計算

数学

先の記事
amori.hatenablog.com
で省略した、超立体の体積計算でのグラム行列式の計算は、普通に行列式計算の展開をすれば求まります。
以下がその過程です。
＃意外にも最後に二項定理がでてきます。

対角要素が１、その他要素をp として一般化します。

（2022/02/06追記）
さらに一般化したものはこちらです。
行列の非対角成分が一様な場合の行列式 - amori's blog

グラム行列式についてはもっと簡単な計算方法がありました。
$D_n = \left| \begin{array}{ccccc} 1 & p & \cdots & p & p\\ p & 1 & p & p & p\\ \vdots & p & \ddots & p & \vdots\\ p & p & p & 1 & p\\ p & p & \cdots & p & 1 \end{array} \right|$
2行目以降から1行目を引きます。
$D_n = \left| \begin{array}{ccccc} 1 & p & \cdots & p & p\\ p-1 & 1-p & 0 & 0 & 0\\ \vdots & 0 & \ddots & 0 & \vdots\\ p-1 & 0 & 0 & 1-p & 0\\ p-1 & 0 & \cdots & 0 & 1-p \end{array} \right|$
2列目以降を1列目に足して1列目2行目以降をゼロにします。
$D_n = \left| \begin{array}{ccccc} 1-(n-1)p & p & \cdots & p & p\\ 0 & 1-p & 0 & 0 & 0\\ \vdots & 0 & \ddots & 0 & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & 1-p & 0\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 1-p \end{array} \right|$
三角行列になったので、
$D_n =(1-(n-1)p)(1-p)^{n-1} \\ =(1-p)^n +np(1-p)^{n-1} \\$

（追記終わり）********************
(以下、旧記載）
対角要素が１、その他要素をp として一般化します。
$D_n = \left| \begin{array}{ccccc} 1 & p & \cdots & p & p\\ p & 1 & p & p & p\\ \vdots & p & \ddots & p & \vdots\\ p & p & p & 1 & p\\ p & p & \cdots & p & 1 \end{array} \right|$
計算しやすいように分離します。
$= \left| \begin{array}{ccccc} 1-p & p & \cdots & p & p\\ 0 & 1 & p & p & p\\ \vdots & p & \ddots & p & \vdots\\ 0 & p & p & 1 & p\\ 0 & p & \cdots & p & 1 \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccccc} p & p & \cdots & p & p\\ p & 1 & p & p & p\\ \vdots & p & \ddots & p & \vdots\\ p & p & p & 1 & p\\ p & p & \cdots & p & 1 \end{array} \right|$

第2項を,1行1列の要素がpである行列として、その行列式をD'とします。
$= (1-p) D_{n-1} + D'_n$
D'を展開します。
$D'_n= \left| \begin{array}{ccccc} p & p & \cdots & p & p\\ p & 1 & p & p & p\\ \vdots & p & \ddots & p & \vdots\\ p & p & p & 1 & p\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 1-p \end{array} \right|$

$= (-1)^{n+n}(1-p) \left| \begin{array}{cccc} p & p & \cdots & p \\ p & 1 & p & p \\ \vdots & p & \ddots & \vdots \\ p & p & \cdots & 1 \end{array} \right| = (1-p) \cdot D'_{n-1}$
よって、 $D'_n=(1-p)^{n-2} D'_2$
$D'_2 = \left| \begin{array}{cc} p & p \\ p & 1 \end{array} \right| = p-p^2=p(1-p)$ 　なので
$D'_n=(1-p)^{n-1} p$

もとの式に戻します。見やすいように $1-p = \alpha$ として、
$D_n = \alpha D_{n-1} +\alpha^{n-1}(1-\alpha)$
これをn=2まで展開し、
$\alpha D_{n-1} = \alpha^2 D_{n-2} +\alpha\cdot\alpha^{n-2}(1-\alpha)$
$\vdots = \vdots$
$\alpha^{n-2}D_2 = \alpha^{n-1} D_1 +\alpha^{n-2}\cdot\alpha(1-\alpha)$
すべて合計すると右辺左辺の $D_k$ が相殺され、
$D_n = \alpha^{n-1} D_1 +(n-1)\alpha^{n-1}(1-\alpha)$

$D_1 = 1$ なので、
$D_n = \alpha^{n-1}(1+(n-1)(1-\alpha)) = \alpha^n + n\alpha^{n-1}(1-\alpha)$
$\alpha = 1-p$ に戻して、

$D_n = (1-p)^{n} + n\cdot (1-p)^{n-1}\cdot p$
これ、2項定理の最初の2項の和ですね。なんでかわかりませんがｗ

というわけで、 $p=\frac{1}{2}$ の時は　 $D_n = \frac{n+1}{2^n}$ となります。

2019-01-18

超立体の体積(容積)計算

数学

不勉強なことにグラム行列というものを知りませんでした。機械学習関係の解説でちょいちょい目にしますが、そちらはわたしには高尚過ぎますので、シンプルにグラム行列式が体積計算に便利(なこともある)ということ改めて知ったというお話です。

例えば、３つのベクトルがなす平行六面体の体積Vは、そのベクトルからなる3×3行列、仮にAとして、その行列式|A|から求められます。
$A = [\bf{a}, \bf{b}, \bf{c} ] = \left[ \begin{array}{ccc} a_{x} & b_{x} & c_{x} \\ a_{y} & b_{y} & c_{y} \\ a_{z} & b_{z} & c_{z} \end{array}\right]$
$V= |A| = a_{x}b_{y}c_{z} +a_{y}b_{z}c_{x} +a_{z}b_{x}c_{y} -a_{z}b_{y}c_{x} -a_{y}b_{x}c_{z} +a_{x}b_{z}c_{y}$

グラム行列は、AとAの転置の積
$A^{\mathrm{T}}A$
$= \left[ \begin{array}{ccc} |\bf{a}|^{2} & \bf{a} \bf{b} & \bf{a} \bf{c} \\ \bf{b} \bf{a} & |\bf{b}|^{2} & \bf{b} \bf{c} \\ \bf{c} \bf{a} & \bf{c} \bf{b} & |\bf{c}|^{2} \end{array}\right]$
なのでグラム行列式は平行六面体の体積の二乗になるのは明らかです。

わざわざ積をとるのが何で便利かというと、グラム行列の要素が全部、元のベクトルの内積となりベクトルの要素を直接計算しなくてよくなるのです。

正四面体のように辺と角の関係がシンプルな場合だと計算が実に単純になります。
各ベクトルは長さ1、ベクトルがなす角は60度なので内積は全て1/2。
$\displaystyle G = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 \end{array}\right]$

グラム行列式は、対角要素が全て1、その他が1/2なので、行列式は

$1+\frac{1}{8} +\frac{1}{8} -\frac{1}{4} -\frac{1}{4} -\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$
これのルートが平行六面体の体積で、正四面体はその1/6で、 $\frac{\sqrt{2}}{12}$ となります。

この計算は4次元以上についても全く同じで、正四面体の4次元の拡張である5胞体については、4次のグラム行列式を求めればよいわけです。
対角要素が1、他が1/2であるn次行列の行列式は、一般に
$\frac{n+1}{2^n}$
となります。
#詳細は以下の記事を参照ください。
amori.hatenablog.com
さらに一般化した行列式計算はこちらです。
amori.hatenablog.com

よってn次元の超三角錐は、
$\frac{1}{n!}\sqrt{\frac{n+1}{2^n}}$
となります。
5胞体は、n=4で超体積は $\frac{\sqrt{5}}{96}$ です。
https://ja.m.wikipedia.org/wiki/正五胞体
ちなみに、2次元は正三角形の面積、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ になってますね。

2019-01-15

22/7 計算中が面白くなってた

22/7 というとπの近似値なのですけど、グループ名の由来と関係あるのかようわかりませんw

冠番組の「22/7計算中」はアニメに分類されてたのでたまたまチェックしただけで、さっさと切ろうと思いつつ、なんか惰性でかけ流すうちに各キャラが立ってきて視聴が続いていたりします。

いやね、せっかくヴァーチャル化してるのにロケを観ながらのスタジオでひな壇のリアクションだけってゆるすぎるでしょ、と思ってたのですが、まあ、それが逆にキャラの差別化やタチ加減を浸透させる効果があったのかもしれません。

まあ、こんな感じでゆるゆると続くんだろうと思ってところに、歌合戦企画で動く動く(^｡^)(除くパネル組)
キャラに馴染んでる分、はっきり言ってヴァーチャルのど自慢より楽しかったぞ。

今回の企画で、22/7の本来の狙いがようやく形になったのではないかな。

今後もスタジオでガンガン動くネタをやって欲しいぞ。

追記
残念ながら、この企画は相当にモーションキャプチャの負担が(多分エンジニアに)大きかったようで、これ以降はもーしょう4名+パネル2名という省エネ形式が固定してしまった・・・年度予算が尽きたのかも。
けど、番組としては安定して面白くなってきたなあ。何と言っても各自のキャラが安定してきて、メンバーが企画のメリハリにうまい具合に乗っかれるようになってきたと思います。
司会の三四郎の仕切りに頼ることがかなり少なくなってきてるのも明らかかと。