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amori's blog

よろず技術系と趣味関係の雑記です

ドブルの数理 (7) 有限射影平面

ドブルの数理シリーズで、麻雀組み合わせ問題、つまりは有限体の性質からドブルの構成を導出する方法を紹介してきましたが、きっとどこかでもっときっちりした解説があるんだろうなあ、と検索してみたんですが、カード数とシンボル数の考察はあっても具体的な導出過程を解説する記事はみつけられませんでした。

ならば外国のほうではどうかとググってみたら、finite projection geometryというtermがちらほらと。有限射影幾何?
で、この単語から辿っていって有限射影平面というコンセプトにたどり着きました。これ、ドブル構成そのものです。

特に数学セミナーに寄稿された「魔円陣と有限幾何」が非常に参考になりました。(といっても実はまだ消化しきれてませが・・・)

http://math.tsukuba.ac.jp/~akiyama/papers/proc/MagicCircle.pdf

この記事の中にはドブルに関する記載はありませんが、有限射影平面の条件の説明はそのまんまドブル構成の条件に一致します。


1. 二つの点を通る直線はただ一つ存在する。
2. 二つの直線はただ一つの点で交わる。
3. 非自明な四角形が存在する。

3番目の条件は自明なつまらないケースを除外するためのものなので、おいといて、ひ
最初のふたつの条件中の「点」をシンボルに、「直線」をカードに読み替えると完全にドブルの構成です。記事中のファノ平面はドブル構成3そのものです。

この記事がさらに面白いのは、魔円陣の問題、つまりいわゆるビリヤード球の問題のことで、(このブログでもビリヤードリングとして紹介しました)有限射影平面と魔円陣が一対一で対応していることを示しているところです。

気がつかなかったなあ・・・( ̄O ̄;)