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amori's blog

よろず技術系と趣味関係の雑記です

(修正記録:二つのボールで円周率)

以下の部分を修正したので、修正前の内容を記録

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衝突終了条件は速度が共に負でかつ大きい球の速度が大きくなった場合なので、(奇数回で終了する条件については別途)

\[\frac{v_{2m}}{V_{2m}}<1\]

\[\tan{m\theta} > -\sqrt{r}\]

これはつまり衝突を繰り返してmθがπ/2を超えた以降は大きい球の速度は負となり壁から遠ざかることになり、小さい球の速度も減少していきmθが πに十分近づいた時点でtan(mθ)が負からゼロに近づいて√rよりもゼロに近づいた時点で衝突が終わるということを意味していることがわかる。

r,すなわち球の質量比が小さくなるほど衝突数/10^Nがπに近づくことを確認する。

Nは1以上で√rは充分に小さいのでtanθ≒θで近似して、

\[\begin{align*} m\theta & \fallingdotseq m \frac{2\sqrt{r}}{1-r} \\& \fallingdotseq 2m\times 10^{-N}  \end{align*}\]

mθはπに近づくので、

\[ m\theta \fallingdotseq \frac{2m}{10^{N}}  = \pi \]

 となりmの数値ならびが確かにπになることがわかる。ちなみにNが大きくなるとmθはよりπにちかづきその回数の誤差は√r=10^(-N)以下となるので最後の一桁まで近似されていることもわかる。

ち なみに、偶数回衝突後にもう一回衝突して奇数回で終了する可能性があり、これはθ≒2√rと収束範囲内のほぼ2倍になっているところから、奇数回目の小さ い球の衝突条件(正負が変わらない)とともに確認すれば最後の一桁まで正確にπの数値列に一致することが確認できると思うのだけれども、ここで力尽きたの で後は誰かにおまかせする。

大学入試で出たら厳しいかもしれないけど、高校数学の範囲で十分に解ける問題なのであるのだな。面白かった。

 

追記

奇数回衝突条件について簡易に説明できることに気がついた。

奇数回目の衝突で衝突が終わるパターンは、大きい球が壁から遠ざかる方向の時に小さい球の衝突後の方向が同じであるという条件だから、

\[ \frac{v_{2m+1}}{v_2m} > 0  \]

の条件を求めればよい。奇数回目反射の行列Aを使って

\[ \frac{v_{2m+1}}{v_{2m}} = \frac{1}{1+r}\left( 2\frac{V_{2m}}{v_{2m}} - s\right) > 0  \]

となるmを求めればよい。で、カッコの中を整理すると、

\[ \begin{align*}\tan{m\theta} > -\tan{\theta} \\ \tan{\pi - m\theta} < \tan{\theta} \\ \pi - m\theta < \theta  \end{align*}\]

となる。これはつまり、πをθで割った余りがθよりも小さくなったところで衝突が終了するということで、θ≒√r=10^(-N)なので最後の一桁の精度まで一致するということがわかる。